以下为 Fourier Analysis (Javier Duoandikoetxea) 的翻译结合老师的笔记. 本人英文渣, 所以翻译得可能不怎么样.

Fourier 系数和级数

当使用分离变量法解偏微分方程的时候会遇到将 $\R$ 上 (一个区间) 的函数表示为三角级数的问题
\begin{equation}\label{equ:realFour1}
f(x) = \displaystyle\sum_{k = 0}^\infty a_k \cos (kx) + b_k \sin (kx)
\end{equation}

这是 J. Fourier 在《热的解析理论》 (1822, 第一次解决问题是 1807 年在法兰西学会) 中给出了解决偏微分方程的这个方法. 更早的时候, 在 18 世纪中叶, Daniel Bernoulli 在解决振动弦的问题时曾提到这个方法, Fourier 系数的公式出现在 1777 年 L. Euler 的一篇文章中.

\eqref{equ:realFour1} 式的右边是一个 $2\pi$-周期函数, 所以 $f$ 也是 $2\pi$-周期函数. 因此我们考虑 $f$ 定义在一个 $2\pi$ 长度的区间上. 在 \eqref{equ:realFour1} 式中使用 Euler 恒等式 $\e^{\i kx} = \cos (kx) + \i \sin (kx)$, 我们可以用 $\lrb{\e^{\i kx}, k \in \Z}$ 来代替函数 $\sin (kx)$ 和 $\cos (kx)$, 从现在开始我们将这么做. 此外, 我将考虑 $1$-周期函数, 所以我们将修改函数系为 $\lrb{\e^{2\pi \i kx}, k \in \Z}$. 从而我们的问题变成了研究 $f$ 表示为
\begin{equation}\label{equ:imagFour1}
f(x) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_k \e^{2\pi \i kx}.
\end{equation}

我们假设这个级数一致收敛, \eqref{equ:imagFour1} 式两边乘上 $\e^{-2\pi \i mx}$ 并在 $(0, 1)$ 上逐项积分得到

\begin{equation*} c_m = \int_{0}^{1} f(x)\e^{-2\pi\i mx} \di x,\end{equation*}

这是因为有如下正交关系

\begin{equation*} \int_{0}^{1}\e^{2 \pi \i kx}\e^{-2 \pi \i mx} \di x = \left\{\begin{array}{ll} 0, & k \neq m,\\ 1, & k = m. \end{array}\right.\end{equation*}

记 $\bT$ 为实数模掉 $1$ 后的加群 ($\R / \Z$), 即一维圆环面. 它也可以看成是单位圆 $\bbS^1$. 我们说一个函数定义在 $\bT$ 上等价于说它定义在 $\R$ 上且周期为 $1$. 对于满足 $f \in L^1(\bT )$ 的函数我们可以定义一个数列 $\lrb{\hat{f}(k)}$, 若满足

\begin{equation*} \hat{f}(k) = \int_{0}^{1} f(x)\e^{-2\pi \i kx} \di x,\end{equation*}

则称其为 Fourier 系数. 由这些系数构成的三角级数
\begin{equation}\label{equ:fourSeri}
\sum_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)\e^{2\pi \i kx}
\end{equation}

称为 $f$ 的 Fourier 级数.

现在，我们的问题在于确定级数 \eqref{equ:fourSeri} 何时以及在何种意义上表示函数 $f$.

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